从一篇数学史论文说开去

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从一篇数学史论文说开去美国数学协会(MAA)的机关刊物《数学杂志》(MathmaticsMagazine)2003年10月号上登载了一篇耐人寻味的数学史长篇论文:“莱布尼茨、《易经》和
从一篇数学史论文说开去
 

美国数学协会(MAA)的机关刊物《数学杂志》(Mathmatics Magazine)2003 
年10月号上登载了一篇耐人寻味的数学史长篇论文:“莱布尼茨、《易经》和中国人的宗教转化”。 
该文通过比较翔实的史料回顾了清朝康熙年间,世界有名的大数学家莱布尼茨和在中国的传教士科学家布韦等人,试图利用《易经》中八卦图和二进制数系中自然数的类似表达方法作为根据,去说服康熙皇帝及其左右,以达到他们把中国人转化为基督徒的目的,同时也重现了莱布尼茨当初试图把他的二进制运算解释为“宇宙语言”的勃勃雄心。 


该文作者弗兰克•施维茨是一位数学史家,对中国的数学史特别有兴趣。但可能是由于对中国的社会和宗教等背景知识的了解不足,这篇长达16页的论文的“结论”部份却令人惊讶地贫乏,简直就没有“结论”可言。 


尽管如此,我们却发现该文提供的史实不但能给我们有趣而有益的结论,而且为我们提供了一个很好的实例,足以演示比较东西方科学内涵大小的方法,因而明白历代科学家们在处理东方传统科学时往往不成功的原因。 


为此目的,我们将原文作了最大限度的压缩,删去了不影响主题的繁琐细节,尽可能不涉及过多的专有名词和人名,以免分散读者的注意力。而对于一些原文没有细讲、但又特别重要、多数读者也可能不知道的术语和概念(如二进制数系和八卦图的基本概念和构成方法),我们又以“译注”的形式添加了适当的说明。这样一来,只要认真阅读,中学文化以上的读者都能理解本文的基本内涵了。

下面我们就请读者欣赏原文的摘要翻译,然后共同来得出简单明了而又令人惊讶的结论。这一段有趣的历史文字不包含任何超出中学课本的数学内容,因此读者一定会读得轻松愉快。 


莱布尼茨、《易经》和中国人的宗教转化 
作者:弗兰克•施维茨 
G.W. 
莱布尼茨(1646-1716)是一个各种理念的综合家,一个宗教思想家,也是一个喜欢并如饥似渴地了解中国文化的人。他曾经搜寻一种宇宙的语言,来帮助他对全部人类知识进行有序化的探索。在他的搜寻中,他被中国的《易经》所吸引。这一古代经典的概念和符号看来代表了二进制算法,并由此暗示了一个把上帝和天地万物联系起来的神秘模型。在学习《易经》的过程中,莱布尼茨也卷入了当时在中国的传教士们试图把中国人转化为基督徒的活动。我们在这里考查数学史上这一奇特的篇章,并讨论莱布尼茨是怎样把数学和哲学、宇宙学、神学,以及玄学联系起来的。 


1. 莱布尼茨的追求 

莱布尼茨确实是一个博学之人 -- 
一个全面的天才和欧洲启蒙运动中知识分子的领袖。虽然一般人都知道他和牛顿各自独立地发明了微积分这一犀利的数学工具,但他在数学以外的很多领域内还享有盛誉。作为一个著名的自然哲学家和打破了经院哲学束缚的科学家,他还是一个积极的试验家和发明家。 


莱布尼茨在自己周围的世界中搜寻着秩序、结构与和谐。他想发展一种分析化的论证语言,该语言能通过一组基本的人类思想原素的不同组合来表达任何一个概念。如果自然是数学化的,那么天地万物也该是数学化的,于是上帝的形象也能借助于数学而被人们所理解。莱布尼茨便这样把理性和信仰联系起来。 


2. 中国的传教士和《易经》 

十三世纪时,马可•波罗向西方人介绍了自己亲眼所见的中国。 
他的奇妙、甚至虚构般的描述点燃了西方人心中的好奇和想象。1497-98年,葡萄牙人开辟了直达远东的通商航线。商人和传教士开始访问和观察这个天朝大国,并把见闻向西方人介绍。1601年,传教士们到了北京。这些人都是受过良好教育的神父,是天主教中的高级知识阶层。他们不但专于神学和哲学,而且熟习许多世俗的学问,因而具有在高等学府中担任教师和教授的资格。他们的中国主人对于他们的宗教信条和神秘的教义没有甚么兴趣,但对他们的科学专门知识以及这些知识可能为皇上所用这一点却确实很欣赏。反过来,传教士们则发现中国人是一个严守纪律和道德的民族,已经具有许多传教士们希望提倡的精神品质。结果,传教士们转变中国人信仰的策略就包含了两方面的内容:首先,把自己植根于中国文化之中,希望能发现中国文明和基督教之间的确切的联系;其次,把所得信息传播回欧洲,以保持皇室和民众对中国传教团的支持。

1685年,中国传教团请求多派一些科学专门人才去传教。法国路易十四国王在年内便派了六个耶稣会的科学家去中国。其中一人在泰国被国王留下了,其余五人到了中国。这五人中有一个姓布韦(Bouvet应该是中文名字叫“汤若望”的人吧?)的,是一位天才而博学的学者,他后来成为当时执政的康熙皇帝及其子女们的私人数学教师。 

布韦很快就对中国经典文献中的玄学理论和宇宙学信仰产生了兴趣。尤其是那本据说是最古的中文书《易经》,对他具有特别的魅力。他相信这本预言书是神向人作启示的工具,或许是一种正在失去的联系,一种可以从精神上把基督徒和中国人团结起来的古老神学。

布韦相信《易经》源于伏羲(公元前三千年)。伏羲据说是中国的第一个皇帝,并在黄河边上有过一次奇遇:他遇到一匹龙马,给他带来了八卦图。伏羲便由八卦获得了语言和一切事物的知识。据信八卦来自太极,而太极则通过互补的阴和阳这个二元系统控制着一切事物。(译注:阴和阳在八卦图中分别以中间断开和不断开的横线来表示。这些横线都叫作“爻”(读音同“瑶”)。利用三根横线(三爻)的不同组合,可以排出8种不同的图形(8种卦象),把这8种卦象按一定次序排成一个首尾相连的环形图,就成为“八卦图”,简称“八卦”。利用六爻的不同组合则能排出64个不同的卦象,其组成的圆环图则是“六十四卦图”,但人们习惯上仍然叫它“八卦”。这里的爻数和卦数的关系是通过中学数学书上讲的排列组合公式而来的:2的3次方等于8(2对应阴和阳,3对应爻数,8对应卦数),2的6次方等于64。但由于八卦中每一卦象自身内涵的完整性,人们一般只把两个三爻的八卦图迭加、组合成六爻的六十四卦图,而不用四爻来作“十六卦图”或用五爻来作“三十二卦图”。) 


由于充满智慧而又古老的天朝里的一切知识都溯源到伏羲和《易经》,布韦认为这位圣王便是中国的精神和智慧之父。他会不会就是犹太 
-- 
基督信仰中的亚当呢?如果是,则在正确理解的前提下,《易经》就能产生出宗教思想家们正在寻找的古代神学。特别是,他觉得《易经》可以为转化中国人的宗教信仰提供必要的联系。

3. 莱布尼茨的二进制运算 

如果上帝是最伟大的数学家,就如当时许多神学家和哲学家所相信的那样,那么他用了哪些数来设计这个宇宙呢?关于数基的概念,即把任何数表示为某一特定数字(数基)的幂的和的想法,人们在十六世纪就知道了,并且已能使用不同于十的基。我们通常使用的基为十的数系叫做十进制数系,基为二就叫做二进制数系。英国数学家Thomas 
Harriot (1560-1621) 
就曾经考虑过二进制数系,但当时觉得没有实用价值。一位西班牙主教在1670年考虑过从二到十二为基的数系。可是,上帝用的是哪个数基呢?曾经是莱布尼茨的数学老师的数学家Weigel认为,答案应该是四。他的答案可能来自当时流行的宇宙学观念:世间万物都是由四大原素地、水、火、空(气)组合而成的。 

莱布尼茨却偏爱二进制。在他看来,那是最简单、最有效的数系。他在一篇发表于1679 
的文章中讨论了二进制数学并构造了一个二进制数字计算器。在一年之内,莱布尼茨又为一位公爵规划了一部这样的机器,但同时也注意到了在构造上的技术困难。1682 
年,他讨论了“二进制过程”及其在数论中可能的运用。然而,莱布尼茨对二进制运算的兴趣超越了数学而包含了玄学和神学。莱布尼茨在1690年的一篇文章中说,万物来自虚空:原始的虚空便用0来表示,而作为造物主的上帝就用1来表示,宇宙万物的形成则来自1和0的组合。到1697年,他把自己的想法和在中国的传教士进行交流,以便他们能使用他的理论去给予中国皇帝一个深刻的印象。 


4. 莱布尼茨的二进制运算和伏羲 

因为受到奇特和新颖事物的强烈吸引,莱布尼茨成了一个机敏和如饥似渴的中国文化的爱好者,热情地收集着来自这一片令人好奇的土地上的信息。他在1668年写过对中医的评论文章,后来又参与过对中国语言的讨论。在1689年访问罗马时,他结识了一位在中国呆了十七年的传教士,从他哪里获得不少关于中国的资料。1697年4月,他编写了“来自中国的最新消息”。当时在巴黎的布韦读到了他的文章,他们从此建立起通信联系。布韦还将自己写的康熙皇帝的传记寄给了莱布尼茨。莱布尼茨在给布韦的回信中谈到了自己正在寻找的宇宙语言,并提到其可能被用来向中国人传达基督教的概念。 


1698年2月28日,当时布韦还在法国。他向莱布尼茨讲了自己的想法,特别强调了伏羲和《易经》的卓绝不凡,认为《易经》中的六爻图形是神的启示的知识源泉。他又向莱布尼茨介绍了一本书中的六爻图形。莱布尼茨对这一理论很感兴趣,并于1701年2月15日给布韦的信中详细介绍了他的二进制运算理论,强调了其中上帝从虚空中创造万物的内涵,还附了一张用二进制数系表示从0到32的表格。布韦立刻就注意到表中的0和1与伏羲八卦图中的阴和阳的对应关系。布韦很高兴自己的想法得到了证实,并在回信中又附了一张刻版印刷的“先天八卦图”。伏羲的“先天八卦图”与后来周文王画的“后天八卦图”在六爻的排列次序上是不同的。莱布尼茨的二进制数系中0和1的排列顺序则和“先天八卦图”中的“阴”“阳”排列顺序相吻合。布韦是第一个注意到这一联系的人。 


看到自己的二进制数系与远古的伏羲“八卦图”有着良好的对应关系,莱布尼茨在回信中表达了自己的喜悦。他甚至想象,当初伏羲画“八卦图”时,说不定心中已经想到了《圣经》中“创世纪”里的经文。不过,当莱布尼茨把“后天八卦图”拿来与他的数系比较时,却发现漫无头绪,使人深感“迷惑”。 


1702年,莱布尼茨采取了一系列步骤来使他的二进制运算在科学界内广为传播。在1703年的法国皇家科学院备忘录上,莱布尼茨发表了“二进制运算的解释”,除解释二进制概念外,还指出其在科学考查中的用处,阐述了它与中国的联系。作为例子,他用表列出了伏羲“八卦图”和0到7这八个数字的二进制表示之间的对应。(请参看附表) 


5. 共同合作的结果 

莱布尼茨在1716年逝世,没有亲眼看到这一重大事件的结局。他也从来没有和布韦见过面。布韦也一直没能成功地运用他的理论赢得中国人宗教信仰的转化,并于1730年逝世。但在一段时间内,两位富于创造性的思想家却相信他们发现了联结东方与西方、过去与现在、以及中国的儒家和欧洲的基督教文明的纽带。哲学家莱布尼茨认为他发现了人类知识的一个根本来源以及他努力追寻的“宇宙语言”的关键。布韦则相信伏羲是第一位预言家,是神的启示的接受者。在他们的合作中,他们互相补充和加强了各自的信仰。 


6. 结论 

把伏羲的八卦图解释为古代数学知识的重新发现,曾在18世纪初期的知识界引起过一阵轰动。一位杂志主编在1705年撰文宣称,中国人失去了六爻图的真正意义,一位欧洲天才为他们重新发现了这一知识。但几年后,莱布尼茨对于《易经》及其六爻理论的新发明便几乎被忘掉了。 


在二十世纪初,随着儒学经典的英文翻译和《易经》的德文解释的出现,西方世界对于六爻及其意义的兴趣又重新显露出来。精神分析法奠基者之一的荣格(C.G. 
Jung),在自己的文章中赞许了六爻的超自然力量,把他的追随者们吸引到这一思想中来。尽管他们的解释有些奇异和怪诞,《易经》及其六爻在数学上仍然具有吸引力,并且提出了一个至今没有解决的、为六爻的排列顺序找出一个数学逻辑的问题。迄今为止已有几种有趣的理论试图为此问题提供答案。 


莱布尼茨-布韦通信集的重要性,及其与《易经》、六爻和二进制数的关系又重新得到检验和研究。从1929年直到1973年,出现了一系列的研究文章。最近,两位研究者正在准备出版一本英文版带注解的莱布尼茨-布韦通信集。此书的面世将为广大读者提供对于那一段涉及到莱布尼茨、布韦、二进制运算、宗教信仰的转化、以及《易经》的奇异历史片段的深入理解。(原文摘译完) 


下面我们就仅仅以上述文章摘译和对二进制运算、八卦的基本理解为基础,得出一些简单明确而又发人深省的结论。 

1. 八卦和二进制数系的内涵有天壤之别 

当莱布尼茨在他的时代首先想到用0和1来表示世间一切事物时,他的思想无疑是伟大而卓绝的,这一点已经被后来的计算机科学的飞跃发展所证实了:计算机和莱布尼茨的二进制运算机器主要的只是速度快慢的差别。但当莱布尼茨试图用他的二进制运算来解释八卦的各种卦象时,他便犯了一个明显的逻辑错误:以小概大。 


用二进制数系表示自然数时,其中0和1的排列顺序是不可更改的,也就是一个线性序列,因为它所表示的自然数是按线性序排列的。但八卦卦象的排列是环形的,没有首尾的区别。每一个卦象与自己左右两边的卦象的推演关系是确定的,无论把哪个卦象算作第一个,都不影响任何一卦的内涵和它与其它卦象的关系。以三爻组成的八卦图为例,我们可以从任一卦象处断开,得到一个卦象的线性序列,一共可得八个不同的这种序列。而其中一个(即“先天八卦图”)和二进制数系表示的从0到7这八个数的二进制表示法可以完全对应起来(0和阴爻对,1和阳爻对)。换句话说,二进制数系表示的内涵顶多只是八卦图表示的内涵的八分之一。对于六爻作成的64卦图,相应的二进制数系表示法就至多只能表示其64 
分之一的内涵。随着爻数的增加,它们之间所表示的内涵的差别就越来越大。 

因此,当莱布尼茨试图用他的二进制运算来解释八卦的各种卦象时,他不但是以升量石,而且简直就是以斗量海!举例来说吧,把两个64卦图重迭、重组一次,就得到由12爻组成的4096卦图,可以断开成4096个线性序列,而相应的二进制数系表示法仍然只能对应其中一个,因而只表达其4096分之一的内涵。再重迭一次,就超过一千六百万倍了。 


这两种表示法之间内涵的重大差别是任何一个稍有逻辑的人都能想到的。但莱布尼茨由于先入为主地把自己心爱的二进制数系当成了“宇宙语言”,因此无论甚么东西都想用它来解释,再也顾不上冷静的逻辑思考了。甚至在他已经遇到了“后天八卦图”与自己的二进制数系相矛盾时,也没有抓住使自己明白更大真理的机会。不管多聪明的人,一旦被强烈的执著心蒙蔽了智慧,就可能犯一些平时根本不可能犯的错误。 


2. 如果莱布尼茨说《易经》就是他要找的“宇宙语言”呢? 

那他在二进制运算方面的整个辛勤劳动就具有了大得多的价值。用现在的话来说,他的二进制数系就是“先天八卦图”的一个很好的数学模型。莱布尼茨已经注意到了“后天八卦图”给他的二进制数系带来的麻烦。他实际上马上就可得出结论说,八卦图的内涵远非二进制数系可以完全模拟。然后,他只消放下自己的二进制数系,捡起圆溜溜的八卦图就得了。但话又说回来,对于八卦图的内在逻辑的数学表示既然至今也没有完美的结果,那么莱布尼茨在当时不能超越时代、认定八卦图是他要找的“宇宙语言”也就成了历史的必然了。 


3. “二生万物”与现代计算机科学 

现代计算机科学是从莱布尼茨当初的二进制计算器发展而来的。但从一定的程度上来说,现在计算机科学所作的一切,就是从一个方面演示了“二生万物”这一道家思想的部份内涵。我们不妨用一个最简单的方法来说明这一点。 


当今人类的全部知识都可以通过某种方法输入计算机中贮存起来。因此,它们的任何部份都可以用有限个0和1的不同组合来表示。如果把所有这些表示式连接起来,我们就得到一个仍然是由有限个0和1组成的特殊排列。这一表示式可以解读为二进制数系中的一个数,也可按原来的次序还原为人类的全部知识。假定这一表示式由100亿个0和1组成,那它就与100亿根爻线排成的2的100亿次方个卦象的某一个序列相对应。可以想象,2的100亿次方个序列中的一个就记述了迄今人类的全部知识,那它们加起来所能表达的内涵就是一个不可思议的知识的汪洋! 


再反过来说“二生万物”吧。只要存在两种可以互相区别的最基本的物质元素,则由上述讨论可知,通过层层迭加和排列的办法,就能生成任意多的具有不同性质的新物质来。道家认为万物来自虚空,即“有生于无”,这个“有”便称为“一”;然后“一生二”,这个“二”就是“阴”和“阳”。而八卦的推演和构成就可看作对“二生万物”,即万物都来自阴阳的一种诠释。 


总而言之,迄今为止人类全部知识的总和,也还是由有限根爻线所画成的一切可能的卦象组合中的一个而已。我们人类已经走了五千年以上的文明之路,从某种意义来讲,我们至今也还没有走出伏羲所画的八卦图去。
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